박진형 교수, 이달의 과학기술인상 3월 수상자 선정

인공지능과 빅테이터 등 첨단기술 발전에 근간으로 수학의 역할이 강조되는 가운데 서강대학교 수학과 박진형 교수가 현대 수학의 최고 난제 중 하나인 대수곡선의 시컨다양체(secant variety) 방정식 문제를 해결해 주목받고 있다.

서강대학교 박진형 교수

기하학은 고대 이집트의 토지 측량을 거쳐 고대 그리스의 유클리드 기하학으로 발전했으며, 17세기 데카르트의 좌표 개념을 바탕으로 기하학적 대상을 방정식으로 표현하는 기하학과 대수학의 상호교류가 본격화됐다. 대수기하학은 현대수학의 여러 핵심 분야와 밀접한 관련이 있는 분야로 대수적 방정식들로 정의되는 기하학적 대상인 대수다양체(algebraic variety)를 연구하는 학문이다.

특히 대수다양체로부터 파생되는 시컨다양체의 기하학적 성질과 방정식은 대수기하학에서 100년 이상 탐구해온 근본적인 주제로 통계학, 컴퓨터과학, 인공지능 분야에도 응용이 가능하다. 오는 3월 14일 수학의 날(π-day)을 맞아 기계학습(machine learning), 빅데이터 분석, 최적화 문제 해결에 필요한 행렬의 일반화(tensor) 계산을 효과적으로 개선할 수 있는 단초를 제공한 박진형 교수의 연구성과가 더욱 주목받고 있다.

박진형 교수는 미국 일로노이대학의 로렌스 아인(Lawrence Ein) 교수, 아칸소대학의 웬보 니우(Wenbo Niu) 교수와의 공동연구를 통해 시컨다양체 특이점의 기하학적 성질과 방정식의 대수학적 성질에 대한 난제를 완벽하게 해결했다.

연구진은 수학계의 오랜 편견을 깨고 대수곡선의 시컨다양체가 정상적인 특이점을 갖는다는 사실을 증명하였다. 이를 통해 고차원 대수다양체의 시컨다양체 특이점과 방정식에 대해 결과들을 예측할 수 있게 되었다. 연구 결과는 시컨다양체에 대한 가장 뛰어난 성과로 인정받아 2020년 11월 인벤시오네 마테마티케(Inventiones Mathematicae)에 게재됐다.

과학기술정보통신부와 한국연구재단은 이달의 과학기술인상 3월 수상자로 박진형 교수를 선정했다. 과기정통부는 인공지능과 빅테이터 등 첨단기술 발전에 근간으로 수학의 역할이 강조되는 가운데 박진형 교수가 현대 수학의 최고 난제 중 하나인 대수곡선의 시컨다양체(secant variety) 방정식 문제를 해결해 대수기하학 발전에 기여하고 한국 수학계의 위상을 높인 공로를 높이 샀다고 밝혔다.

박진형 교수는 “이번 연구는 대수곡선의 시컨다양체 특이점의 기하학적 성질과 방정식의 대수학적 성질을 연결하는 체계적인 연구접근법을 개발한 데 의의가 있다”라며 “앞으로 대수곡선의 시컨다양체 특이점과 방정식에 대한 후속 연구의 기초가 될 것으로 기대한다”라고 밝혔다.

박진형 교수의 주요 연구 성과 해설

1. 대수곡선의 시컨다양체의 방정식의 대수적 성질을 담고 있는 동차좌표환(homogeneous coordinate ring)의 최소자유분해(minimal free resolution)

대수다양체 방정식의 대수적 성질을 탐구하는 것은 대수기하학의 가장 근본적인 문제 중 하나이다. 대수곡선이 N_2.p 성질(대수곡선의 동차좌표환의 최소자유분해가 가능한 가장 단순하다는 뜻)을 만족한다는 마크 그린(Mark Green)의 정리는 대수기하학 연구의 이정표 역할을 해왔다. 로렌스 아인(Lawrence Ein)과 웬보 니우(Wenbo Niu)와의 공동연구를 통해 시드만-베르마이어(Sidman-Vermeire) 예상을 해결하였다. 이는 대수곡선의 k차 시컨다양체가 N_k+2.p 성질을 만족한다는 내용으로 대수곡선의 경우와 마찬가지로 동차좌표환의 최소자유분해가 가능한 가장 단순하다는 뜻이다. 0차 시컨다양체는 대수곡선 자체이기 때문에 이는 그린 정리의 자연스러운 일반화라 할 수 있다. 이 연구 결과는 시컨다양체의 방정식의 일반적인 성질에 대한 가장 뛰어난 연구 성과 중 하나로 인정받고 있다.

2.  대수곡선의 시컨다양체의 특이점의 기하학적 성질과 방정식의 대수적 성질을 연관시켜 시드만-베르마이어 예상, 울러리 예상, 초우-송 문제 해결

시드만-베르마이어 예상을 해결하기 위하여 대수곡선의 시컨다양체의 방정식에 대한 대수적 성질을 시컨다양체의 특이점에 대한 기하학적 성질과 연관시켰다. 구체적으로 k차 시컨다양체의 특이점의 기하학적 성질을 m차(m은 k보다 작은 수) 시컨다양체의 방정식의 대수적 성질로부터 얻어내고, 다시 k차 시컨다양체의 특이점의 성질로부터 k차 시컨다양체의 방정식의 대수적 성질을 얻어냈다. 이 과정에서 대수곡선의 시컨다양체는 정상적 뒤 부아(normal Du Bois) 특이점만을 가진다는 것과 특수한 대수곡선의 경우 최소모형이론(minimal model program)에서 다루는 특별한 특이점이 된다는 것을 증명하여 울러리(Ullery) 예상과 초우-송(Chou-Song) 문제를 해결하였다. 이 연구 결과는 고차 시컨다양체의 특이점의 일반적 성질에 대한 최초의 연구 성과 중 하나이다.